পৃষ্ঠাটি লোড হচ্ছে . . .
দয়াকরে অপেক্ষা করুন।
"লোডিং সময়" আপনার ইন্টারনেট স্পিড এর উপর নির্ভরশীল।
পৃষ্ঠাটি লোড হচ্ছে . . .
দয়াকরে অপেক্ষা করুন।
"লোডিং সময়" আপনার ইন্টারনেট স্পিড এর উপর নির্ভরশীল।
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস চারগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? ৪২ তম বিসিএস
| (ক) ১২ | (খ) ৪ |
| (গ) ৮ | (ঘ) ১৬ |
উত্তর: ১৬
ধরি, বৃত্তের ব্যাস = x
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = x/2
∴ old ক্ষেত্রফল = (x/2)² π = (π × x²)/8
এখন ব্যাস ৪ গুণ করা হলে ব্যাস হবে ৪x
∴ ব্যাসার্ধ = ৪x/2
∴ New ক্ষেত্রফল
= π × ( ৪x/2)² = (π × 16x²)/8 = ১৬ × (π × x²/8)
∴ অর্থাৎ ক্ষেত্রফল বাড়ে ১৬ গুণ।
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: \(\sec A+\tan A=\frac{5}{2}\) হলে, \(\sec A-\tan A\) এর মান ? ৪২ তম বিসিএস
| (ক) \(\frac{1}{5}\) | (খ) \(\frac{1}{2}\) |
| (গ) \(\frac{2}{5}\) | (ঘ) \(\frac{5}{2}\) |
উত্তর: \(\frac{2}{5}\)
\(\sec A+\tan A=\frac{5}{2}\) হলে, \(\sec A-\tan A\) এর মান হলো \(\frac{2}{5}\) বা \(0.4\)।
এটি একটি ত্রিকোণমিতিক সমস্যা যা নিচের ধাপগুলোর মাধ্যমে সমাধান করা যায়:
Step 1: Using Trigonometric Identity আমরা জানি, সেক এবং ট্যান এর মধ্যে সম্পর্কযুক্ত মৌলিক সূত্রটি হলো:
\(\sec ^{2}A-\tan ^{2}A=1\)
Step 2: Applying Algebraic Formula
\(a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\)
এই সূত্রটি উপরে প্রয়োগ করে পাই:
\((\sec A+\tan A)(\sec A-\tan A)=1\)
Step 3: Substituting the Given Value প্রশ্নে দেওয়া আছে,
\(\sec A+\tan A=\frac{5}{2}\)।
এই মানটি সমীকরণে বসিয়ে পাই:
\((\frac{5}{2})(\sec A-\tan A)=1\)
Step 4: Finding the Final Value এখন,
\(\sec A-\tan A\) এর মান বের করতে পক্ষান্তর করি:
\(\sec A-\tan A=\frac{1}{\frac{5}{2}}\)\(\sec A-\tan A=\frac{2}{5}\)Answer:
গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী সঠিক মান হলো \(\frac{2}{5}\)।
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: টাকায় তিনটি এবং টাকায় ৫টি দরে সমান সংখ্যক আমলকি ক্রয় করে এক ব্যক্তি টাকায় ৪টি করে আমলকি বিক্রয় করলেন। ঐ ব্যক্তির শতকরা কত লাভ বা ক্ষতি হলো তা নির্ণয় করুন। ৪২ তম বিসিএস
| (ক) ৪.২৫% লাভ | (খ) ৭.২৫% লাভ |
| (গ) ৬.২৫% ক্ষতি | (ঘ) ৫.২৫% ক্ষতি |
উত্তর: ৬.২৫% ক্ষতি
ধরি, টাকায় ৩ টি করে ৫ টাকায় ব্যক্তিটি ১৫ টি আমলকি ক্রয় করলো
এবং টাকায় ৫ টি করে ৩ টাকায় আরো ১৫ টি আমলকি ক্রয় করলো
অর্থাৎ,
৩০ টি আমলকি ক্রয় করলো ৮ টাকায়
∴ ১ টি আমলকীর ক্রয়মূল্য ৮/৩০ টাকা
১ টাকায় ৪ টি আমলকি বিক্রয় করলে, ১ টি আমলকির বিক্রয়মূল্য ১/৪ টাকা
বিক্রয়মূল্য - ক্রয়মূল্য = ১/৪ - ৮/৩০
= (১৫ - ১৬)/৬০ = -১/৬০ টাকা
অর্থাৎ, ক্ষতি হয় ১/৬০ টাকা
∴ শতকরা ক্ষতির হার = (১×৩০×১০০)/(৬০×৮)% = ৬.২৫%
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: আপনার মোবাইল ফোনের মাসিক বিল এসেছে ৪২০ টাকা। যদি এক বছর পর ১০% বৃদ্ধি পায় এবং আরো ৬ মাস পর ২০% বৃদ্ধি পায়, তাহলে ১৮ মাস পর আপনার বিল কত হবে? ৪২ তম বিসিএস
| (ক) ৭৩০.৮০ টাকা | (খ) ৪৬০.২০ টাকা |
| (গ) ৫৫৪.৪০ টাকা | (ঘ) ৬২০.৬০ টাকা |
উত্তর: ৫৫৪.৪০ টাকা
দেওয়া আছে, মাসিক বিল ৪২০ টাকা
১ বছর পর ১০% বৃদ্ধিতে বিল = ৪২০ + ৪২০ এর ১০/১০০ = ৪৬২ টাকা
আরো ৬ মাস পর, ২০% বৃদ্ধিতে বিল = ৪৬২ + ৪৬২ এর ২০/১০০ = ৫৫৪.৪ টাকা
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার। চৌবাচ্চাটির গভীরতা কত? ৪২ তম বিসিএস
| (ক) ২.৫ মিটার | (খ) ৩ মিটার |
| (গ) ১.৫ মিটার | (ঘ) ৩.৫ মিটার |
উত্তর: ২.৫ মিটার
ধরি, চৌবাচ্চাটির গভীরতা = ক মিটার
∴ চৌবাচ্চাটির আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × গভীরতা
= ২.৫৬ × ১.২৫ × ক
= ৩.২ক ঘনমিটার
আমরা জানি, ১ ঘনমিটার = ১০০০ লিটার
∴ ৮০০০ লিটার = ৮০০০/১০০০ = ৮ ঘনমিটার
প্রশ্নমতে,
৩.২ক = ৮
∴ ক = ৮/৩.২ = ২.৫ মিটার
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: এক বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য অপর একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমার সমান হলে বর্গক্ষেত্র দুটির কর্ণের অনুপাত কত হবে? ৪২ তম বিসিএস
| (ক) 5:2 | (খ) 2:1 |
| (গ) 1:2 | (ঘ) 4:1 |
উত্তর: 4:1
ধরি, প্রথম বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 4a একক অতএব, 2য় বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক এখন, ১ম বর্গের কর্ণ = 4a√2 এবং ২য় বর্গের কর্ণ = a√2 অতএব, কর্নের অনুপাত = (4a√2 : a√2) = 4 : 1
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: \(P(A)=\frac{1}{3}\) ; \(P(B)=\frac{2}{3}\) ; A ও B স্বাধীন হলে \(P\frac{B}{A}=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\) কত? ৪২ তম বিসিএস
| (ক) \(\frac{4}{3}\) | (খ) \(\frac{1}{4}\) |
| (গ) \(\frac{1}{2}\) | (ঘ) \(\frac{2}{3}\) |
উত্তর: \(\frac{2}{3}\)
A ও B স্বাধীন ঘটনা, P(A∩B) = P(A).P(B) = 1/3.2/3 = 2/9
∴ P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
= 2/9 / 1/3
= 2/3
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: \(2\log _{2}3+\log _{2}5\) এর মান কত? ৪৩তম বিসিএস
| (ক) 10 | (খ) 8 |
| (গ) 2 | (ঘ) 15 |
উত্তর: 15
ধাপ ১: সূচকের যোগফলকে গুণের আকারে প্রকাশ আমরা জানি, \(a^{m+n}=a^{m}\times a^{n}\)।
এই সূত্রটি ব্যবহার করে রাশিটিকে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়:\(2^{(\log _{2}3+\log _{2}5)}=2^{\log _{2}3}\times 2^{\log _{2}5}\)
➡️ ধাপ ২: লগারিদমের মৌলিক পরিচয় (Identity) প্রয়োগ লগারিদমের মৌলিক সূত্র অনুযায়ী, \(a^{\log _{a}x}=x\)। এই সূত্রটি প্রয়োগ করলে আমরা পাই:\(2^{\log _{2}3}=3\)\(2^{\log _{2}5}=5\)
➡️ ধাপ ৩: চূড়ান্ত মান নির্ণয় প্রাপ্ত মানগুলো গুণ করলে দাঁড়ায়:\(3\times 5=15\)
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: (x-2)/(x-1) + 1/(x-1)-2 = 0 এর সমাধান সেট- ৪৩তম বিসিএস
| (ক) -1 | (খ) 2 |
| (গ) 1 | (ঘ) ϕ |
উত্তর: ϕ
প্রদত্ত সমীকরণ \(\frac{x-2}{x-1}+\frac{1}{x-1}-2=0\) এর সমাধান সেট হলো \(\mathbf{\emptyset }\) (ফাঁকা সেট)। ➡️ ধাপ ১: ভগ্নাংশের যোগফল নির্ণয় সমীকরণের প্রথম দুটি পদের হর একই (\(x-1\))। তাই আমরা লবগুলো যোগ করতে পারি:\(\frac{x-2+1}{x-1}-2=0\)\(\frac{x-1}{x-1}-2=0\)➡️ ধাপ ২: শর্ত সাপেক্ষে সরলীকরণ যেকোনো ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে হর শূন্য হতে পারে না। এখানে হর \(x-1\ne 0\), অর্থাৎ \(x\ne 1\) হতে হবে।যদি \(x\ne 1\) হয়, তবে \(\frac{x-1}{x-1}=1\) লেখা যায়। সমীকরণটি দাঁড়ায়:\(1-2=0\)\(-1=0\)➡️ ধাপ ৩: ফলাফল বিশ্লেষণ প্রাপ্ত ফলাফল \(-1=0\) যা গাণিতিকভাবে অসম্ভব। এর অর্থ হলো \(x\) এর এমন কোনো বাস্তব মান নেই যা এই সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে। যেহেতু প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী \(x\) এর মান \(1\) হতে পারবে না এবং অন্য কোনো মান সমীকরণটিকে সন্তুষ্ট করে না, তাই সমীকরণটির কোনো সমাধান নেই। ✅ উত্তর: নির্ণেয় সমাধান সেট \(\mathbf{\emptyset }\) বা ফাঁকা সেট।
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: A= {x ∈ IN | 2<X≤8}, B= {x ∈ IN | x বিজোড় সংখ্যা এবং x≤9} হলে, A∩B=? ৪৩তম বিসিএস
| (ক) {3, 5, 8} | (খ) {3, 4, 8} |
| (গ) {4, 5, 7} | (ঘ) {3, 5, 7} |
উত্তর: {3, 5, 7}
দেওয়া আছে,
A={x∈IN | 2<x≤8}
B={x∈IN | x বিজোড় এবং x≤9}
তাহলে,
A={3,4,5,6,7,8}
B={1,3,5,7,9}
A∩B=A={3,4,5,6,7,8}∩ {1,3,5,7,9}
={3,5,7}
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: A এবং B দুটি ঘটনা যেন P(A)=1/2, P(AUB)=3/4 এবং \(P(B^{c}\)=5/8 হলে \(P(A^{c}\cap B^{c})\)=কত? ৪৩তম বিসিএস
| (ক) \(\frac{1}{8}\) | (খ) \(\frac{1}{6}\) |
| (গ) \(\frac{1}{4}\) | (ঘ) \(\frac{1}{2}\) |
উত্তর: \(\frac{1}{4}\)
দেওয়া আছে,P(A)=1/2, P(A∪B)=3/4 এবং P(Bc)=5/8
আমরা জানি,
P(Ac∩ Bc)= 1- P(A∪B) [সূত্র থেকে ]
=1- (3/4)
=(4-3)/4
=1/4
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় \(\frac{1}{(3x-5)}\)< \(\frac{1}{3}\) অসমতাটির সমাধান- ৪৩তম বিসিএস
| (ক) \(\frac{8}{3}\) < x < ∞ | (খ) −∞ < x < \(\frac{5}{3}\) |
| (গ) −∞ < x < \(\frac{5}{2}\) এবং \(\frac{8}{3}\) < x < ∞ | (ঘ) −∞ < x < \(\frac{5}{2}\) অথবা \(\frac{8}{3}\) < x < ∞ |
উত্তর: \(\frac{8}{3}\) < x < ∞
1/(3x-5)<1/3
or,3x-5>3
or,3x>8
or,x>8/3 [ x এর মান 8/3 থেকে বড় অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত ]
∴ 8/3<x<∞
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: একদল গরু প্রতিবার সমান সংখ্যায় ভাগ হয়ে তিন পথে গমন করে, সাত ঘাটে পানি পান করে, নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায়; তাহলে গরুর সংখ্যা কত? ৪৩তম বিসিএস
| (ক) 252 | (খ) 225 |
| (গ) 155 | (ঘ) 522 |
উত্তর: 252
এখানে যদি সংখ্যাগুলোর লসাগু নির্নয় করি তাহলে উত্তর পাওয়া যাবে।
৩,৭,৯,১২ এর লসাগু ২৫২
[তিন পথে গমন করে,সাত ঘাটে পানি পান করে,নয়টি বৃক্ষের নিচে ঘুমায় এবং বারো জন গোয়ালা সমান সংখ্যক গরুর দুধ দোয়ায় এখান থেকে ৩,৭,৯,১২ নেওয়া হয়েছে ]
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: \(5x-x^{2}-6=0\) হলে নিচের কোনটি সঠিক ? ৪৩তম বিসিএস
| (ক) 2>x>3 | (খ) 2<x<3 |
| (গ) x>3, x<2 | (ঘ) x<2 |
উত্তর: 2<x<3
\(5x-x^{2}-6=0\) সমীকরণটিকে সমাধান করলে পাওয়া যায়:
\(-x^{2}+5x-6=0\)
বা, \(x^{2}-5x+6=0\) (\(-1\) দ্বারা গুণ করে)
বা, \(x^{2}-2x-3x+6=0\)
বা, \(x(x-2)-3(x-2)=0\)
বা, \((x-2)(x-3)=0\)
অতএব, \(x=2\) অথবা \(x=3\).
সঠিক উত্তর: \(x\) এর মান ২ অথবা ৩ (সমাধানসেট \(\{2,3\}\)).
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।
প্রশ্ন: \(4^{x}+4^{1-x}=4\) হলে x=? ৪৩তম বিসিএস
| (ক) \(\frac{1}{4}\) | (খ) 2 |
| (গ) \(\frac{1}{3}\) | (ঘ) \(\frac{1}{2}\) |
উত্তর: \(\frac{1}{2}\)
4x + 41-x =4
or,4x + 4/4x=4
or,{(4x)2+4}/4x =4
or,(4x)2+4=4.4x
or,(4x)2 - 4.4x+4=0
or,(4x)2 - 2.4x.2 +22=0
or,(4x-2)2=0
or,4x-2=0
or,4x=2
or,(22)x=2
or,22x=2
or, 2x=1
∴ x=1/2
প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।