সহায়িকা

√-8 × √-2
=√(8 .i²) × √(2 .i²) [i²=-1]
= 2√(2)i × √(2)i
=i² 4
=-4

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

|x-2| < 3
বা, -3 < x-2 < 3
বা, -3+2 < x-2+2 < 3+2
বা, -1 < x < 5
বা, -3 < 3x < 15
বা, -3+5 < 3x+5 < 15+5
∴ 2 < 3x+5 < 20
যেখানে, m < 3x+5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

আমরা জানি,

দৈর্ঘ্য x প্রস্থ = ক্ষেত্রফল

এখানে দেখা যাচ্ছে যে,

দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ উভয়ই ক্ষেত্রফলের সমানুপাতিক।

তাই দৈর্ঘ্য ৫% বাড়লে ক্ষেত্রফলও ৫% বাড়বে।

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

১০% কমে যাওয়ায় চিনির মূল্য (১০০-১০) টাকা
= ৯০ টাকা
৯০ টাকায় চিনির মূল্য বাড়াতে হবে ১০ টাকা
১ ' " " " " ১০ / ৯০ "
১০০ " " " " (১০ × ১০০)/ ৯০ টাকা
= ১০০০/৯০ টাকা
= ১১ (১/৯)%

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

৬ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো ২৭\(\sqrt{}\) বর্গ সে.মি.। ধাপ ১: ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় একটি \(r\) ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ভেতরে অবস্থিত সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য \(a\) হলে, তাদের মধ্যে সম্পর্কটি হলো:\(a=\sqrt{3}r\)এখানে ব্যাসার্ধ \(r=6\) সে.মি.। সুতরাং, বাহুর দৈর্ঘ্য:\(a=6\sqrt{3}\text{\ ..}\)ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয় সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}\) ব্যবহার করে পাই:\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (6\sqrt{3})^{2}\)\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (36\times 3)\)\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 108\)\(=27\sqrt{3}\)ধাপ ৩: মান নির্ণয় যদি \(\sqrt{3}\approx 1.732\) ধরা হয়, তবে ক্ষেত্রফল হবে:\(27\times 1.732\approx 46.764\text{\ \ ..}\)

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

\(\frac{5}{12},\frac{6}{13},\frac{11}{24}\) এবং \(\frac{3}{8}\) এর মধ্যে বড় ভগ্নাংশটি হলো \(\frac{6}{13}\)। Step 1: \(\frac{5}{12}\) এবং \(\frac{6}{13}\) এর তুলনা আড়াআড়ি গুণ (Cross-multiplication) পদ্ধতিতে লব ও হরের গুণফল তুলনা করি:\(5\times 13=65\)\(12\times 6=72\)যেহেতু \(72>65\), সেহেতু \(\frac{6}{13}\) ভগ্নাংশটি বড়। Step 2: \(\frac{6}{13}\) এবং \(\frac{11}{24}\) এর তুলনা পূর্বের বড় ভগ্নাংশটির সাথে পরবর্তী ভগ্নাংশের তুলনা করি:\(6\times 24=144\)\(13\times 11=143\)যেহেতু \(144>143\), সেহেতু এখনও পর্যন্ত \(\frac{6}{13}\) ভগ্নাংশটিই বড়। Step 3: \(\frac{6}{13}\) এবং \(\frac{3}{8}\) এর তুলনা চূড়ান্ত ভগ্নাংশটির সাথে তুলনা করি:\(6\times 8=48\)\(13\times 3=39\)যেহেতু \(48>39\), সেহেতু এই চারটির মধ্যে \(\frac{6}{13}\) সবচেয়ে বড়। Answer: সবচেয়ে বড় ভগ্নাংশটি হলো \(\frac{6}{13}\)।

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

যদি আপনি মান অনুমান করতে না পারেন, তবে সরাসরি এই সূত্রটি ব্যবহার করুন:\(=\frac{(a+b)^{2}-2ab}{(ab)^{2}}=\frac{7^{2}-2(12)}{12^{2}}=\frac{49-24}{144}=\frac{25}{144}\)

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

\(C=P(1+r)^{n}\) 
\(=800\left(1+\frac{10}{100}\right)^{2}\)
\(=800(1+0.1)^{2}\)
\(=800\times 1.1\times 1.1\)
\(\mathbf{=968}\)
ব্যাখ্যা:
 এখানে \(P=800\) (মূলধন), \(r=10\%\) (মুনাফার হার) এবং \(n=2\) (সময়)।
হিসাব অনুযায়ী, ২ বছর শেষে চক্রবৃদ্ধি মূলধন হবে ৯৬৮ টাকা।
যদি আপনাকে শুধুমাত্র চক্রবৃদ্ধি মুনাফা (Compound Interest) বের করতে বলা হয়, তবে উত্তর হবে: \(968-800=168\) টাকা।

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

\(\log _{2}(\log _{\sqrt{e}}e^{2})\) রাশিটির সরলীকৃত মান হলো ২। Step 1: ভিতরের লগারিদমের মান নির্ণয় প্রথমে বন্ধনীর ভেতরের অংশ অর্থাৎ \(\log _{\sqrt{e}}e^{2}\) এর মান বের করি। আমরা জানি, \(\sqrt{e}=e^{1/2}\)। সূচকের নিয়ম অনুযায়ী:\(\log _{e^{1/2}}e^{2}\)লগারিদমের সূত্র \(\log _{a^{n}}a^{m}=\frac{m}{n}\) প্রয়োগ করে পাই:\(\log _{e^{1/2}}e^{2}=\frac{2}{1/2}=2\times 2=4\)Step 2: মূল রাশির মান নির্ণয় এখন প্রাপ্ত মানটি মূল সমীকরণে বসিয়ে পাই:\(\log _{2}(4)\)যেহেতু \(4=2^{2}\), তাই:\(\log _{2}(2^{2})=2\log _{2}2\)আমরা জানি \(\log _{a}a=1\), সুতরাং:\(2\times 1=2\)Answer: নির্ণেয় মান ২।

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

ধাপ ১: মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা ১ থেকে ৪৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যার পরিমাণ:\(n(S)=440\)ধাপ ২: অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা (বর্গসংখ্যা) নির্ণয় আমাদের এমন বৃহত্তম পূর্ণসংখ্যা \(k\) খুঁজে বের করতে হবে যার বর্গ \(440\) এর সমান বা তার চেয়ে ছোট।আমরা জানি:\(20^{2}=400\)\(21^{2}=441\)যেহেতু \(441>440\), তাই ১ থেকে ৪৪০ এর মধ্যে মোট ২০টি পূর্ণ বর্গসংখ্যা (\(1^{2},2^{2},3^{2},\dots ,20^{2}\)) রয়েছে।\(\text{\ ,\ }n(A)=20\)ধাপ ৩: সম্ভাবনা নির্ণয় সম্ভাবনার সূত্র \(P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\) প্রয়োগ করে পাই:\(P(A)=\frac{20}{440}\)লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করলে:\(P(A)=\frac{1}{22}\)

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

অসমতা \(x^{2}-3x-10>0\) এর সমাধান হলো: \(x<-2\) অথবা \(x>5\)। সমাধান পদ্ধতি:১. প্রথমে রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে:\(x^{2}-3x-10>0\)বা, \(x^{2}-5x+2x-10>0\)বা, \(x(x-5)+2(x-5)>0\)বা, \((x-5)(x+2)>0\) ২. ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট বা মূলগুলো নির্ণয়:এখানে মূল দুটি হলো \(x=5\) এবং \(x=-2\)। ৩. ব্যবধি পরীক্ষা:যেহেতু অসমতাটি 'greater than 0' (\(>0\)), তাই সমাধানটি হবে মূল দুটির বাইরের অংশে। যদি \(x>5\) হয়, তবে রাশিটি ধনাত্মক (\(>0\)) হয়।যদি \(x<-2\) হয়, তবে রাশিটি ধনাত্মক (\(>0\)) হয়।\(-2\) এবং \(5\)-এর মধ্যবর্তী মানের জন্য রাশিটি ঋণাত্মক হয়। ফলাফল: সেট আকারে: \(\{x\in \mathbb{R}:x<-2\text{\ or\ }x>5\}\)ব্যবধি (Interval) আকারে: \((-\infty ,-2)\cup (5,\infty )\)

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

\(log_{x}\frac{1}{9}=-2\) হলে \(x\) এর মান হলো \(3\)। এটি একটি লজিক্যাল প্রসিডিউরাল প্রবলেম, যার সমাধান ধাপ নিচে দেওয়া হলো: ধাপ ১: সূচকীয় আকারে রূপান্তর লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে, \(log_{a}(b)=c\) হলে \(a^{c}=b\)।এখানে ভিত্তি \(x\) এবং ফলাফল \(-2\), তাই আমরা লিখতে পারি:\(x^{-2}=\frac{1}{9}\)ধাপ ২: ঘাত বা পাওয়ার সরলীকরণ আমরা জানি, \(x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}\)। সুতরাং:\(\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{9}\)ধাপ ৩: x এর মান নির্ণয় উভয় পক্ষকে বিপরীত (inverse) করে পাই:\(x^{2}=9\)\(x=\sqrt{9}\)\(x=3\)

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

৫ প্রকারে অনুরােধ রক্ষা করা সম্ভব।
(৫০ x ১) + (২০ x ২৩) = ৫১০
(৫০ x ৩) + (২০ x ১৮) = ৫১০
(৫০ x ৫) + (২০ x ১৩) = ৫১০
(৫০ x ৭) + (২০ x ৮) = ৫১০
(৫০ x ৯) + (২০ x ৩) = ৫১০

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

১ থেকে ৪৯ পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গড় নির্ণয় করেছেন। গাণিতিক ধাপগুলো সংক্ষেপে:১. সমষ্টি (Sum): \(\frac{n(n+1)}{2}=\frac{49\times 50}{2}=1225\)২. গড় (Average): \(\frac{}{}=\frac{1225}{49}=25\) পরীক্ষার জন্য একটি শর্টকাট টিপস (Shortcut): যদি সংখ্যাগুলো ক্রমিক হয় (যেমন: ১, ২, ৩...৪৯), তবে গড় বের করার জন্য এত বড় যোগফল করার প্রয়োজন নেই। আপনি সরাসরি এই সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন: গড় = \(\frac{\text{\ }+\text{\ }}{2}\) এখানে: প্রথম পদ = ১শেষ পদ = ৪৯গড় = \(\frac{1+49}{2}=\frac{50}{2}=25\) এই শর্টকাটটি ব্যবহার করলে পরীক্ষার সময় অনেক দ্রুত উত্তর বের করা সম্ভব।

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।

ধাপ ১: তথ্যের বিন্যাস ধরি, স্বাভাবিক বেগ \(x\) কিমি/ঘণ্টা।দূরত্ব = \(30\) কিমি।স্বাভাবিক সময় \(t_{1}=\frac{30}{x}\) ঘণ্টা।পরিবর্তিত বেগ \(2x\) হলে সময় \(t_{2}=\frac{30}{2x}\) ঘণ্টা। ধাপ ২: সমীকরণ গঠন দুই সময়ের পার্থক্য ৩ ঘণ্টা হলে:\(\frac{30}{x}-\frac{30}{2x}=3\)ধাপ ৩: x এর মান নির্ণয় \(\frac{60-30}{2x}=3\)\(\frac{30}{2x}=3\)\(6x=30\)\(x=\frac{30}{6}\)\(x=5\)উত্তর: জয়নুলের স্বাভাবিক গতিবেগ \(5\) কিমি/ঘণ্টা।

প্রশ্ন লিস্ট করে পড়তে লগইন করুন।